题目内容
(08年浙江卷理)(本题14分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.
(Ⅰ)若袋中共有10个球,
(i)求白球的个数;
(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望.
(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望
等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:(i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A,
设袋中白球的个数为,则,
得到.故白球有5个.
(ii)随机变量的取值为0,1,2,3,分布列是
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望
.
(Ⅱ)证明:设袋中有个球,其中个黑球,由题意得,
所以,,故.
记“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B,则
.
所以白球的个数比黑球多,白球个数多于,红球的个数少于.
故袋中红球个数最少.
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