题目内容

（2012•东城区模拟）直线l1：y=kx+1-k(k≠0，k≠±
1
2
)与l2：y=
1
2
x+
1
2
相交于点P．直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{xn}．
（1）当k=2时，求点P1，P2，P3的坐标并猜出点Pn的坐标；
（2）证明数列{xn-1}是等比数列，并求出数列{xn}的通项公式；
（3）比较2|PPn|2与4k2|PP1|2+5的大小．
分析：（1）根据直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，可得点P1，P2，P3的坐标，从而猜出点Pn的坐标；
（2）确定Qn，Pn+1的坐标，利用Pn+1在直线l1上，对其变形，即可证得结论；
（3）求出P的坐标，表示出2|PPn|2与4k2|PP1|2+5，分类讨论，即可得到结论．
解答：（1）解：由题意可P1(
1
2
，0)，P2(
7
8
，
3
4
)，P3(
31
32
，
15
16
)，可猜得Pn(
22n-1-1
22n-1
，
22n-2-1
22n-2
)．…（4分）
（2）证明：设点Pn的坐标是（xn，yn），由已知条件得点Qn，Pn+1的坐标分别是：(xn，
1
2
xn+
1
2
)，(xn+1，
1
2
xn+
1
2
)．
由Pn+1在直线l1上，得
1
2
xn+
1
2
=kxn+1+1-k．
所以
1
2
(xn-1)=k(xn+1-1)，即xn+1-1=
1
2k
(xn-1)，n∈N*
所以数列{xn-1}是首项为x1-1，公比为
1
2k
的等比数列．
由题设知 x1=1-
1
k
，x1-1=-
1
k
≠0，
从而xn-1=-
1
k
×(
1
2k
)n-1，∴xn=1-2×(
1
2k
)n，n∈N*．…（9分）
（3）解：由
y=kx+1-k
y=
1
2
x+
1
2
得点P的坐标为（1，1）．
所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×(
1
2k
)2n+2(
1
2k
)2n-2，4k2|PP1|2+5=4k2[(1-
1
k
-1)2+(0-1)2]+5=4k2+9．
（i）当|k|＞
1
2
，即k＜-
1
2
或k＞
1
2
时，4k2|PP1|2+5＞1+9=10，
而此时0＜|
1
2k
|＜1，∴2|PPn|2＜8×1+2=10，
∴2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5．
（ii）当0＜|k|＜
1
2
，∴k∈(-
1
2
，0)∪(0，
1
2
)时，4k2|PP1|2+5＜1+9=10．
而此时|
1
2k
|＞1，∴2|PPn|2＞8×1+2=10，
∴2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5．…（14分）
点评：本题考查等比数列的证明，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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2
10
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2
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x1+x2
2
)．
其中，所有正确命题的序号是
①④
①④
．

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