题目内容

已知向量
a
，
b
与x轴正半轴所成角分别为α，β（以x轴正半轴为始边），|
a
|=|
b
|=2，
a
-
b
=(
3
，1)，则cos2（α-β）=
-
1
2
-
1
2
．
分析：利用条件|
a
|=|
b
|=2，
a
-
b
=(
3
，1)可求＜
a
， 
b
＞的余弦，从而可求得cos2（α-β）．
解答：解：∵向量
a
，
b
与x轴正半轴所成角分别为α，β，|
a
|=|
b
|=2，
a
-
b
=(
3
，1)，
∴( 
a
-
b
)  2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2=4，即
a
•
b
=|
a
|•|
b
| cos(α-β)=2，
∴cos（α-β）=
1
2
，
∴cos2(α-β)= 2cos2(α-β)-1=-
1
2
，
故答案为：-
1
2
．
点评：本题考查二倍角的余弦，关键在于求得
a
，
b
的夹角的余弦，再应用二倍角公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
a1
=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为
a2
=
3
-2
，求矩阵A．
（2）选修4-4：坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为psin（θ-
π
3
）=6，圆C的参数方程为
x=10cosθ
y=10sinθ
，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值．
（1）已知矩阵A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，
π
2
)，曲线C的参数方程为
x=rcosα
y=rsinα
(α为参数，r＞0）
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
（3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值时x的值．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
7-6
4-3
，向量
ξ 
=
6
5
．
（I）求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量
ξ
1和
ξ2
；
（II）求M6
ξ
的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知：a、b、c∈R+，求证：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2；    
（Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．
已知向量
a
，
b
与x轴正半轴所成角分别为α，β（以x轴正半轴为始边），|
a
|=|
b
|=2，
a
-
b
=(
3
，1)，则cos2（α-β）=______．

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