Question

若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0对任意正整数t恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A、{x|x＞1}
• B、{x|0＜x＜

  1

  2

  }
• C、{x|0＜x＜

  1

  2

  或x＞1}
• D、{x|0＜x＜

  1

  3

  或x＞1}

Answer 1

分析：因为有因式lgx，所以须对x分x＞1，0＜x＜1和x=1三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的x的范围，最后综合即可．

解答：解：由题知x＞0，所以当x＞1时，lgx＞0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＜0?a＞

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立?x＞1．
当0＜x＜1时，lgx＜0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＞0?x＜

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立?x＜

1

2

，
∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

2

．
当x=1时，lgx=0，不等式不成立舍去
综上，实数x的取值范围是  x＞1或0＜x＜

1

2

故选C．

点评：本题考查了函数的恒成立问题以及分类讨论思想的应用．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．