题目内容
19.已知F1(-2,0),F2(2.0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;
(2)点M,N是曲线E上的两个动点,且以线段MN为直径的圆恒经过点Q(-1.0),求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标.
分析 (1)由点P满足|PF1|-|PF2|=2<4=|F1F2|,利用双曲线的定义即可判断出轨迹.
(2)设直线MN的方程为my=x+t,M(x1,y1),N(x2,y2).由于$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=0,化为(1+m2)y1y2+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2=0(*).联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$,化为(3m2-1)y2-6mty+3t2-3=0,利用根与系数的关系代入(*)即可得出.
解答 (1)解:∵点P满足|PF1|-|PF2|=2<4=|F1F2|,
∴点P的轨迹E为双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的右支(x≥1).
(2)证明:设直线MN的方程为my=x+t,M(x1,y1),N(x2,y2).
则$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$=(x1+1,y1)•(x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
(my1-t+1)(my2-t+1)+y1y2=0,
化为(1+m2)y1y2+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2=0.
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$,
化为(3m2-1)y2-6mty+3t2-3=0,
△>0,
∴y1+y2=$\frac{6mt}{3{m}^{2}-1}$,y1y2=$\frac{3{t}^{2}-3}{3{m}^{2}-1}$.
∴$\frac{(1+{m}^{2})(3{t}^{2}-3)}{3{m}^{2}-1}$+$\frac{6{m}^{2}t(1-t)}{3{m}^{2}-1}$+(1-t)2=0,
化为:t2+t-2=0,
∴t=-2或t=1.
直线MN的方程为my=x+1或my=x-2.
∴直线MN经过定点(-1,0)(舍去),或(2,0).
因此直线MN经过定点(2,0).
点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、数量积运算性质、直线过定点问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
A. | f(0)<f(-6.5)<f(-1) | B. | f(-6.5)<f(0)<f(-1) | C. | f(-1)<f(-6.5)<f(0) | D. | f(-1)<f(0)<f(-6.5) |
A. | [-3,1] | B. | [-1,3] | C. | [-1,2] | D. | [-2,1] |