Question

已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足·=0，=-.

（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；

（2）设轨迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且n∩l=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.

Answer 1

（1）M点的轨迹方程为y²=4x，（2）O，E，H三点共线

解析:

（1）设M（x,y）为轨迹上任意一点，

A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),

则=（x,y-b），=(a-x,-y),

∵=-，

∴（x，y-b）=-（a-x，-y），

∴，从而.

∴A，且=, =.

∵·=0，

∴·=0，即3x-y²=0,

∴y²=4x,故M点的轨迹方程为y²=4x.

(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k≠0),

由ky²-4y-4k=0,

设G（x₁,y₁）,H(x₂,y₂),

则由根与系数的关系得，y₁y₂=-4,

又由已知=（-1，y₁),=,

∴(-1)×y₂-y₁×=-y₂-·y₂=-y₂+y₂=0,

∴∥,故O，E，H三点共线.