Question

（湖北卷文17）  已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.

 （Ⅰ）求m的值；

 （Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程.

Answer 1

【试题解析】

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

    当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		极大值		极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

【试题解析】本题主要考查应用导数研究函数的性质的方法和运算能力。

【高考考点】函数的性质与切线方程的求法。

【易错提醒】忽略“为常数，且”

【备考提示】函数的本质在于把握函数的性质.