题目内容

已知向量 $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求 $数学公式$ 的值；
（2）设函数f（x）=（ $数学公式$ ）• $数学公式$ ，求f（x）的单调增区间；
（3）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， $数学公式$ c=2asin（A+B），对于（2）中的函数f（x），求f（B+ $数学公式$ ）的取值范围．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴3sinx=-cosx，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
（2）函数f（x）=（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）=sin²x+sinxcosx-2
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x-2= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$
∴f（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]（k∈Z）；
（3）∵ $\text{[math]}$ c=2asin（A+B），
∴ $\text{[math]}$ sinC=2sinAsinC，
∴sinA= $\text{[math]}$
∵A∈（0，π），∴A= $\text{[math]}$
∵△ABC为锐角三角形，∴ $\text{[math]}$
f（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin[2（B+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2B- $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴0＜sin2B≤1
∴- $\text{[math]}$ ＜f（B+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量共线的条件，可得3sinx=-cosx，代入，即可得到结论；
（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（3）求出A的值，确定B的范围，化简函数，可得函数的值域．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．