Question

某公司有电子产品n件，合格率为96%，在投放市场之前，决定对该产品进行最后检验，为了减少检验次数，科技人员采用打包的形式进行，即把x件打成一包，对这x件产品进行一次性整体检验，如果检测仪器显示绿灯，说明该包产品均为合格品；如果检测仪器显示红灯，说明该包产品至少有一件不合格，须对该包产品一共检测了x+1次
（1）探求检测这n件产品的检测次数f（x）；
（2）如果设0.96ⁿ≈1-0.04n，要使检测次数最少，则每包应放多少件产品？

Answer 1

分析：（1）因为每一件产品被检验的次数是一随机变量ξ，所以ξ的取值为

1

x

或1+

1

x

，然后求出相应的概率，得到随机变量ξ的概率分布，再求出每一件产品被检验的期望Eξ，从而得到这n件产品被检验的次数为（x）=nEξ；
（2）由题设可知0.96^x=1-0.04x，所以化简f（x），然后利用基本不等式求出最小值，以及取最小值时x的值即可．

解答：解：（1）因为每一件产品被检验的次数是一随机变量ξ，所以ξ的取值为

1

x

或1+

1

x

则随机变量ξ的概率分布为

ξ	1 x	1+ 1 x
P	( 96 100 )x	1-( 96 100 )x

…（4分）
所以每一件产品被检验的期望为Eξ=

1

x

(

96

100

)x+(1+

1

x

)[1-(

96

100

)x]=1+

1

x

-0.96x
于是，这n件产品被检验的次数为f(x)=n(1+

1

x

-0.96x)…（6分）
（2）由题设可知0.96^x=1-0.04x，
所以f(x)=n(1+

1

x

-0.96x)=n[1+

1

x

-(1-0.04x)]
=n(

1

x

+0.04x)≥n•2

1 x •0.04x

=0.4n（当且仅当

1

x

=0.04x即x=5）时等号成立
因此，要使检测的次数最少，每包应放5件．…（12分）
（不验证等号扣1分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及数学期望和基本不等式求最值，同时考查了计算能力，属于中档题．