Question

当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，-k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为（1，2）即可．

解答：解：由可行域可知，直线AC的斜率=

2-1

1-0

=1，
直线BC的斜率=

2-1

1-2

=-1，
当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，
C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，
所以-k∈[-1，1]，
⇒k∈[-1，1]，
则实数k的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．