Question

17．设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• C． $\frac{63}{32}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

解答 解：由y²=2px，得2p=3，p=$\frac{3}{2}$，
则F（$\frac{3}{4}$，0）．
∴过A，B的直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），
即x=$\sqrt{3}$y+$\frac{3}{4}$．
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=3x\\ x=\sqrt{3}y+\frac{3}{4}\end{array}\right.$，得4y²-12$\sqrt{3}$y-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=3$\sqrt{3}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4}$．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{3}{8}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{8}$×$\sqrt{{（3\sqrt{3}）}^{2}+9}$=$\frac{9}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．