Question

某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学， (Ⅰ)求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学； (Ⅱ)测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如下图：

(ⅰ)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160，170)的中点值为165）作为代表。据此，计算这100名学生身高数据的期望μ及标准差σ（精确到0.1）： (ⅱ)若总体服从正态分布，以样本估计总体，据此，估计该年级身高在(158.6，181.4)范围中的学生的人数； (Ⅲ)如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到下列联表：

体育锻炼与身高达标2×2列联表

身高达标 身高不达标 总计 积极参加体育锻炼 40     不积极参加体育锻炼   15   总计     100 (ⅰ)完成上表； (ⅱ)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？ 参考公式：， 参考数据：

Answer 1

解：(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为，
且事件“甲同学被抽到”与事件“乙同学被抽到”相互独立，
故甲、乙两人都被抽到的概率为。
(Ⅱ)(ⅰ)总体数据的期望约为：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170(cm)，
标准差σ=11.4。
(ⅱ)由于μ=170，σ≈11.4，
当身高x∈(158.6，181.4)时，即x∈（μ-σ，μ+σ），
故身高落在(158.6，181.4)中的概率为0.682 6，
故身高落在(158.6，181.4)中的人数为683人。
(Ⅲ)(ⅰ)

(ⅱ)，
故有75%把握认为体育锻炼与身高达标有关系。