题目内容
已知R上的连续函数g（x）满足：
①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；
②对任意x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R都有f(
+x)=-f(x)成立，当x∈[-
，
]时，f（x）=x3-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2-a+2）对x∈[-
-2
，
-2
]恒成立，则a的取值范围是（ ）
①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；
②对任意x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R都有f(
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| A、a≥1或a≤0 | ||||||||||||
| B、0≤a≤1 | ||||||||||||
C、-
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| D、a∈R |
分析：由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）?|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈[-
-2
，
-2
]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a2-a+2|的最小值，然后解出即可．
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解答：解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈[-
-2
，
-2
]恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2-a+2|min，由于当x∈[-
，
]时，f（x）=x3-3x，
求导得：f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），该函数过点（-
，0)，（0，0），（
，0)，
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，又由于对任意的x∈R都有f(
+x)=-f(x)?f(2
+x)=-f(
+x)=f(x)成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2
，所以函数f（x）在x∈[-
-2
，
-2
]的最大值为2，所以令2≤|a2-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A
所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈[-
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求导得：f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），该函数过点（-
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且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，又由于对任意的x∈R都有f(
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故选A
点评：此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-
，
]时，f（x）=x3-3x，的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立．
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练习册系列答案
相关题目
时，
恒成立(
为函数
的导函数)；②对任意的
都有
，又函数
满足：对任意的
成立。当
时，
。若关于
的不等式
对
恒成立,则
的取值范围是（ ）
B、
D、
或
时，
恒成立(
为函数
的导函数)；②对任意的
都有
，又函数
满足：对任意的
成立。当
时，
。若关于
的不等式
对
恒成立,则
的取值范围是（ ）
B、
D、
或
恒成立（
为函数g(x)的导函数）；②对任意x∈R都有g(x)=g(-x)。又函数f(x)满足：对任意的x∈R都有f(
+x)=
成立，当x∈[
,
]时，f(x)=
。若关于x的不等式g[f(x)]≤g(
)对 x∈[-
-2
成立，当
时，f（x）=x3-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2-a+2）对
恒成立，则a的取值范围是（ ）
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