Question

某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=

t+20，(0＜t＜20，t∈N*) -t+100，(20≤t≤30，t∈N*)

，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，x∈N^*），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

Answer 1

分析：分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．

解答：解：由题意，y=

(t+20)(-t+40)，(0＜t＜20，t∈N*) (-t+100)(-t+40)，(20≤t≤30，t∈N*)

当0＜t＜20，t∈N₊时，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）时，y_max=900（元），
当20≤t≤30，t∈N₊时，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[20，30]时，函数递减．
∴t=20（天）时，y_max=1600（元）．
∵1600＞900
∴第20天日销售额最大为1600元

点评：本题考查分段函数的应，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题．