Question

已知函数f(x)=

bx+c

ax2+1

（a，b，c∈R，a＞0）是奇函数，若f（x）的最小值为-

1

2

，且f(1)＞

2

5

，则b的取值范围是

1

2

＜b＜2

．

Answer 1

分析：已知f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），其中f（0）=0，解出c=0，对f（x）进行变形利用均值不等式得出f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为-

1

2

，求出a与b的关系式，代入f(1)＞

2

5

得b的范围；

解答：解：∵f(x)=

bx+c

ax2+1

(a，b，c∈R，a＞0)，是奇函数，
∴f（0）=0，
∴c=0，
∵f(1)＞

2

5

＞0，
∴b＞0，
∴f（x）=

b

ax+ 1 x

≥

b

-2 a

，
∴

b

-2 a

=-

1

2

，
∴a=b²，解得f（1）=

b

b2+1

＞

2

5

得

1

2

＜b＜2，
故答案为：

1

2

＜b＜2．

点评：此题主要考查函数的奇偶性，以及利用均值不等式的来求未知量的范围，是一道中档题；