题目内容
根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2008；b1，b2，…，bn，…，b2008．（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ bn}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 ak与 ak+1中插入bk+1个3得到一个新数列 { cn }，设数列 { cn }的前n项和为Sn，问是否存在这样的正整数m，使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
．
分析：（I）根据框图可知an+1=an+1整理得an+1-an=1，根据等差数列的定义判断出{an}为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得an，
（II）根据b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，猜想bn=3n-1-1．证明时利用bn+1=3bn+2，整理得bn+1+1=3（bn+1），判断出{bn+1}为等比数列，根据首项和公比求得{bn}的通项公式．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的正整数m，使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008，再利用数列求和，求出Sm，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（II）根据b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，猜想bn=3n-1-1．证明时利用bn+1=3bn+2，整理得bn+1+1=3（bn+1），判断出{bn+1}为等比数列，根据首项和公比求得{bn}的通项公式．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的正整数m，使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008，再利用数列求和，求出Sm，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（Ⅰ）a1=1，an+1=an+1，∴{ an}是公差为1的等差数列．∴an=n．
（Ⅱ）b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，
猜想bn=3n-1-1．证明如下：bn+1=3bn+2，bn+1+1=3（bn+1），
∴{ bn+1}是公比为3的等比数列．∴bn+1=（b1+1）3n-1=3n-1．则bn=3n-1-1．
（Ⅲ）数列{cn}中，ak项（含ak）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
+
，
估算知，当k=7时，其和是28+
=1120＜2008，当k=8时，其和是36+
=3315＞2008，又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故存在这样的m，使得Sm=2008，此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．
（Ⅱ）b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，
猜想bn=3n-1-1．证明如下：bn+1=3bn+2，bn+1+1=3（bn+1），
∴{ bn+1}是公比为3的等比数列．∴bn+1=（b1+1）3n-1=3n-1．则bn=3n-1-1．
（Ⅲ）数列{cn}中，ak项（含ak）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
| k(k+1) |
| 2 |
| 3k-3 |
| 2 |
估算知，当k=7时，其和是28+
| 37-3 |
| 2 |
| 38-3 |
| 2 |
故存在这样的m，使得Sm=2008，此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．
点评：本题主要考查了程序框图、等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题．由等差数列和等比数列构成的数列常可用分组求和法．
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