题目内容
【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.(1)求f(x)的表达式;
(2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A.
(3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
分析:(1)使用待定系数法求函数的解析式,关键是根据已知条件构造方程组.
(2)当f(x)的二次系数a>0时,f(x)≤0的解集非空?△≥0
(3)可将其转化为求的关于m的不等式组.
(2)当f(x)的二次系数a>0时,f(x)≤0的解集非空?△≥0
(3)可将其转化为求的关于m的不等式组.
解答:解:(1)由x-1=x2-3x+3可得x=2,
故由题可知1≤f(2)≤1,
从而f(2)=1.
因此
,
故b=
-a,c=
-2a.由x-1≤f(x)
得ax2-(
+a)x+
-2a≥0对x∈R恒成立,
故△=(
+a)2-4a(
-2a)≤0,
即9a2-4a+
≤0,
解得a=
,
故f(x)=
x2+
-
(2)由
x2+
-
≤nx-1
得2x2+(1-9n)x+8≤0,
故△=(1-9n)2-64≥0,
解得n≤-
或n≥1,从而A=(-∞,-]
∪[1,+∞)
(3)显然|x1-x2|≥0,当且仅当n=-
或n=1时取得等号,
故m2+tm+1≤0对t∈[-3,3]恒成立.记g(t)=m•t+(m2+1),
则有
,
即
,
故m∈∅,不存在这样的实数m
故由题可知1≤f(2)≤1,
从而f(2)=1.
因此
|
故b=
1 |
3 |
1 |
3 |
得ax2-(
2 |
3 |
4 |
3 |
故△=(
2 |
3 |
4 |
3 |
即9a2-4a+
4 |
9 |
解得a=
2 |
9 |
故f(x)=
2 |
9 |
x |
9 |
1 |
9 |
(2)由
2 |
9 |
x |
9 |
1 |
9 |
得2x2+(1-9n)x+8≤0,
故△=(1-9n)2-64≥0,
解得n≤-
7 |
9 |
7 |
9 |
(3)显然|x1-x2|≥0,当且仅当n=-
7 |
9 |
故m2+tm+1≤0对t∈[-3,3]恒成立.记g(t)=m•t+(m2+1),
则有
|
即
|
故m∈∅,不存在这样的实数m
点评:解一元二次不等式ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0,反映在数量关系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根,反映在图形上就是考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的关系.因此要熟练掌握“三个二次”之间的相互转换,善于用转化思想分析解决问题.
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