题目内容

某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r％，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常进行生产．

(Ⅰ)当r＝20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由；

(Ⅱ)能否找到一个大于20的数据r，使该车间能连续正常生产6.5小时？请说明理由；

(Ⅲ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)

已知该净化设备的工作方式是：在向外释放出室内混合气体(空气和有害气体)的同时向室内放入等体积的新鲜空气．已知该净化设备的换气量是200m3／分，试证明该设备连续工作20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20％以下．(提示：我们可以将净化过程划分成n次，且n趋向于无穷大．)

答案：
解析：

 　　解(Ⅰ)∵第一次释放有害气体am3，

　　解(Ⅰ)∵第一次释放有害气体am3，

　　∴第二次释放有害气体后(净化之前)，车间内共有有害气体(a＋ar％)m3，第三次释放有害气体后(净化之前)，车间内共有有害气体[a＋(a＋ar％)r％]m3，

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　　∵6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，　　∴要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后(净化之前)，车间内有害气体总量不得超过1.25am3，

　　即必须要有a＋ar％＋a(r％)2＋…＋a(r％)5≤1.25a，

　　即a·≤1.25a．

　　∵当r＝20时，＜＝＝1.25．

　　∴当r＝20时，该车间能连续生产6.5小时．

　　(Ⅱ)设r％＝0.2＋x(x＞0)满足条件，　　即要有≤1.25，

　　即(0.2＋x)6≥1.25·x．(*)

　　∵(0.2＋x)6＝0.26＋6(0.2)5x＋……＞0.26＋6(0.2)5x，

　　要使(*)成立，只要0.26＋(0.2)5·16x－1.25x≥0即可，

　　∴可取x＝＞0，∴取r＝20＋100·，就可使该车间连续生产6.5小时．

　　(Ⅲ)设车间内原有有害气体量为A，将20分钟的净化过程划分成n次，则每次的换气量为m3．

　　不妨假设换气过程是先放入新鲜空气再释放混合气体，

　　∵净化后残留的有害气体量＝净化前残留的有害气体量－被释放混合气体中所含有害气体，

　　第一次净化后残留的有害气体量为：

　　a1＝A－·＝A·；

　　第二次净化后残留的有害气体量为：

　　a2＝a1－·＝a1·＝A；……

　　第n次净化后残留的有害气体量为：an＝A．

　　当n极大时，可将看作整数k，

　　∴A＝A，

　　∵＝1＋1＋＋＞2.5，

　　∴an＜A＜A，

　　∴20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20％以下．


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