题目内容

如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E、F分别在线段PB、AC上,满足BE=CF.
(1)求PD与平面ABCD所成的角的大小;
(2)求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值.
(3)求证:EF⊥CD.

解:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PDA是PD与平面ABCD所成角
又PA=AB=AD
∴∠PDA=45°,
∴PD与平面ABCD所成的角为45°
(2)连接BD交AC于O,连接PO,
则AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴PA⊥BD,而PA∩AC=A,
∴BD⊥面PAC,又PO?面PAC,
∴BD⊥PO,
∴∠AOP就是平面PBD与平面ABCD所成角,
在Rt△AOP中,tan∠AOP==
(3)过点E作EH∥PA,交AB于H,连接FH,

∵BE=CF,BP=AC,∴,∴
∴FH∥AD,
∵AD⊥CD,∴CD⊥FH 又PA⊥CD,∴CD⊥EH
∴CD⊥平面EFH,
∴EF⊥CD.
分析:(1)要求PD与平面ABCD所成的角,必须找到直线PD在平面ABCD内的射影;(2)要求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值,找到该二面角的平面角,根据二面角的平面角的定义即可找到该角;(3)过点E作EH∥PA,交AB于H,连接FH,要证EF⊥CD.只需证CD⊥平面EFH,
点评:考查直线与平面所成的角,二面角以及线面垂直的性质定理,在求空间角时,难点是找到线面角和二面角的平面角,把空间角转化为平面角来求解,体现了转化的思想方法,属中档题.
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