Question

已知A₁，A₂是椭圆

x2

a2

+ 

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果

BA1

与

BA2

的夹角不小于

2π

3

，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A．(0，

  6

  3

  ]
• B．(

  6

  3

  ，1)
• C．[

  6

  3

  ，1)
• D．[

  3

  3

  ，1)

Answer 1

分析：先将已知条件

BA1

与

BA2

的夹角不小于

2π

3

转化为∠A₁BO≥

π

3

，为建立a、b、c间的不等式创造条件，再在Rt△BOA₁中，将∠A₁BO≥

π

3

转化为

a

b

≥

3

，最后利用椭圆中b²=a²-c²将不等式转化为离心率不等式，解不等式得离心率取值范围

解答：解：设椭圆中心为O，∵

BA1

与

BA2

的夹角不小于

2π

3

，即∠A₁BO≥

π

3

在Rt△BOA₁中，|OA₁|=a，|OB|=b，tan∠A₁BO=

|OA 1|

|OB|

=

a

b

≥tan（

π

3

）=

3

即a≥

3

b，即a²≥3b²，即a²≥3（a²-c²）
∴2a²≤3c²∴e²≥

2

3

∴e≥

6

3

，又∵椭圆的离心率0＜e＜1
∴该椭圆的离心率的取值范围是[

6

3

，1)
故选C．

点评：本题考察了椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，特别是求椭圆离心率的方法，解题时要认真总结规律，提高解题速度