Question

（1）已知sinx-cosx=

3

3

，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知sinx+cosx=-

7

13

，0＜x＜π，求cosx+2sinx的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinxcosx的值，然后把所求的式子加上2sin²xcos²x，且减去2sin²xcos²x保持与原式相等，配方为完全平方式后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的sinxcosx的值代入即可求出值；
（2）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出2sinxcosx的值，然后利用完全平方公式把（sinx-cosx）²展开后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的2sinxcosx的值代入可求出（sinx-cosx）²的值，根据x的范围及sinxcosx小于0，得出x为钝角，故sinx-cosx大于0，开方可求出sinx-cosx的值，与已知的等式联立即可求出sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入所求的式子即可求出值．

解答：解：（1）由已知sinx-cosx=

3

3

，
两边平方得1-2sinxcosx=

1

3

，sinxcosx=

1

3

，（2分）．
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-

2

9

=

7

9

；（5分）

（2）因为sinx+cosx=-

7

13

，①
两边平方得1+2sinxcosx=

49

169

，2sinxcosx=-

120

169

＜0，（7分）
所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

289

169

，（9分）
由0＜x＜π，sinxcosx＜0，得到

π

2

＜x＜π，
于是sinx＞0，cosx＜0，sinx-cosx=

17

13

，②（11分）
由①②得sinx=

5

13

，cosx=-

12

13

，（13分）
所以cosx+2sinx=-

12

13

+

10

13

=-

2

13

．（14分）

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，以及整体代入思想的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．