Question

已知半径为5的圆的圆心在x的正半轴上，且被直线x-y+5=0截得的弦长为
（1）求圆的方程；
（2）是否存在实数a，使得直线ax-y+5=0与圆相交于A、B两点，且过点P（-1，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为半径为5的圆的圆心在x的正半轴上，且被直线x-y+5=0截得的弦长为
圆心坐标为（a，0），所以，解得a=1，
所以所求圆的方程为：（x-1）²+y²=25
（2）因为直线和圆相交，故由d＜r，即，
解得：
若经过P的直线l垂直平分弦AB，则直线也经过圆心C（1，0），
∴AB⊥CP
∴k_AB•k_CP=-1，得，满足（*），
故存在实数，使问题成立．
分析：（1）设出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出圆心坐标，然后求圆的方程；
（2）利用直线ax-y+5=0与圆相交于A、B两点，求出a的范围，通过k_AB•k_CP=-1，求出实数a的值；即可得到过点P（-1，4）的直线l垂直平分弦AB存在．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查转化思想计算能力．