题目内容

（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=cos3x+1在上的面积为    ．
【答案】分析：将y=cos3x+1化成y=sin（3x+）+1，令t=x+，则y=sin3t+1．t∈[，π]．函数y=sinnx与函数y=sin3t类比，可以得出函数y=sin3t在[0，]上的面积为，在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．再结合图象，准确地利用已知数据表示出阴影面积并计算即可．
解答：解：y=cos3x+1=sin（3x+）+1，令t=x+，则y=sin3t+1．t∈[，π]
在函数y=sinnx中，令n=3，得出函数y=sin3x在[0，]上的面积为．在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．
 
 
函数y=cos3t+1图象由y=sin3t图象向上平移一个1个单位得到．
阴影部分面积为
故答案为：．
点评：本题考查不规则图象的面积求解，要充分利用已知信息，将所求问题进行转化．本题首先将函数名称由余弦化成正弦，再进行换元，以满足已知信息模型，在具体求解时，将不规则部分利用规则部分与已知数值表示．
练习册系列答案
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（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
（理）设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)＞0，f(3)=
a+2
a-3
，则a的取值范围是（　　）
（理）设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab2恒成立，求实数b的取值范围．
（理）设函数f（x）=a1•sin（x+α1）+a2•sin（x+α2）+…+an•sin（x+αn），其中ai、αi（i=1，2，…，n，n∈N*，n≥2）为已知实常数，x∈R．
下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是
①②③④
①②③④
．
①若f(0)=f(
π
2
)=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f(
π
2
)=0，则函数f（x）为偶函数；
④当f2(0)+f2(
π
2
)≠0时，若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）．
（2006•松江区模拟）（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在[0，
π
n
]上的面积为
2
n
(n∈N*)，则函数y=cos3x+1在[0，
5π
6
]上的面积为
5π+2
6
5π+2
6
．

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