Question

某次数学竞赛共3道试题，20名参赛学生的情况如下：

（1）他们每人都至少解出1题；

（2）在没有解出第1题的那些学生中，解出第2题的是解出第3题的人数的2倍；

（3）只解出第1题的比余下的学生中解出第1题的多1人;

(4)只解出1道题的学生中，有一半没有解出第1题.

试问有多少学生只解出第2题？

Answer 1

解析：设解出第1，2，3各题的学生集合分别为A，B，C（如图），重叠部分表示同时解出2道题或3道题的学生集合，七个部分的人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，则

由（1）得a+b+c+d+e+f+g=20.        ①

由（2）得b+f=2(c+f).                        ②

由（3）得a=d+e+g+1.                      ③

由（4）得a=b+c.                               ④

由②式得f=b-2c.                                 ⑤

把⑤式代入①式，得a+2b-c+d+e+g=20.        ⑥

把③式代入⑥式，得2b-c+2d+2e+2g=19.      ⑦

把④式代入⑥式，得3b+d+e+g=20.               ⑧

由⑧×2-⑦,得4b+c=21.                                ⑨

∵c≥0,

∴4b≤21,b≤5.

利用⑤⑨消去c，得f=b-2(21-4b)=9b-42.

由f≥0，得9b≥42,即b≥4,于是有4≤b≤5.

由于b∈Z,

∴b=5,即只解出第2题的学生有5人.