Question

设f（x）=-2x²-2ax+a+1，其中x∈[-1，0]，a≥0，f（x）的最大值为d．
（1）试用a表示d=g（a）；（2）解方程g（a）=5．

Answer 1

分析：（1）把f（x）解析式变为顶点式，写出对称轴，当对称轴在区间中点左边时，f（x）在区间的右端点取到最大值，当对称轴在区间中点右边时，f（x）在区间的左端点取到最大值，最后写成分段函数的形式；
（2）分段函数的函数值为5，令每一段为5，得a的值，验证一下a是否在所属范围之内．

解答：解：（1）f（x）=-2(x+

a

2

)2+

a2

2

+a+1，对称轴x=-

a

2

，
当-

a

2

≤-

1

2

，即a≥1时，d=f（0）=a+1，
当-

a

2

＞-

1

2

时，即a＜1时，d=f（-1）=3a-1，
∴g（a）=

a+1(a≥1) 3a-1(0≤a＜1)

（2）∵a+1=5，∴a=4≥1
∵3a-1=5，∴a=2∉[0，1），舍．
∴a=4

点评：数形结合，利用分类讨论的思想求出最大值，注意结果要写为分段函数的形式，分段函数知函数值求自变量，注意验证自变量是否在所属范围之内．