Question

设a、b为正数，求证：

不等式＞①成立的充要条件件是：对于任意实数x＞1，有ax＋＞b．②

Answer 1

答案：
解析：

思路　　只需证不等式②对x∈(1，＋∞)恒成立的充要条件是不等式①成立，可考虑用最值法． 　　解答　　设f(x)＝ax＋(x＞1)， 　　那么不等式②对x∈(1，＋∞)恒成立的充要条件是函数f(x)(x＞1)的最小值大于b． 　　因为f(x)＝ax＋1＋＝(a＋1)＋a(x－1)＋≥(a＋1)＋2＝(＋1)2． 　　当且仅当a(x－1)＝，x＝1＋时，上式等号成立．故f(x)的最小值是(＋1)2． 　　因此，不等式②对x＞1但成立的充要条件是(＋1)2＞b＋1＞． 　　评析　　本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”．