Question

11．如图1所示，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交与点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在BC下方的抛物线上是否存在点E，使△EBC的面积最大，如果存在，请求出最大面积及点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2所示，过点C作CP∥AB交抛物线与点P，在抛物线上是否存在点M，将线段PM绕点P旋转90°后，点M恰好落在x轴上的点M₁处，如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知中抛物线与坐标轴的交点，构造方程组，解得抛物线的解析式；
（2）设y=x+b（b＜-3）与抛物线切于E点，则此时△EBC的面积最大，联立方程求出E点坐标，可得答案；
（3）先求出P点坐标，再根据旋转变换公式，可得满足条件的M点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交与点C（0，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）由B（3，0），C（0，-3），
可得直线BC的方程为$\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$，即y=x-3，
设y=x+b（b＜-3）与抛物线切于E点，则此时△EBC的面积最大，
由$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2x-3\\ y=x+b\end{array}\right.$得：x²-2x-（b+3）=0，
令△=0，则b=-4，
此时：x=1，y=-4，
即E点的坐标为：（1，-4）；
E到BC的距离d=$\sqrt{2}$，
△EBC的面积S=$\frac{1}{2}$BC•d=3；
（3）过点C作CP∥AB交抛物线与点P，则P点坐标为（2，-3），
设M₁点坐标为：（n，0），
若n=2，则PM₁=3，此时对应的M点为（-1，-3）或（5，-3）点均不在抛物线上；
若n＞2，则此时对应的M点为（-1，n-5），
此时n-5=1+2-3=0，解得：n=5；
故M点的坐标为（-1，0）；
若n＜2，则此时对应的M点为（5，5-n），
此时5-n=25-10-3=0，解得：n=-7，
故M点的坐标为（5，12），
综上M点的坐标为（-1，0）或（5，12）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．