Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

x

3

）（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

x

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

x

6

，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答．

解答：解：①函数f（x）=4sin (2x+

π

3

)的最小正周期T=π，
由相邻两个零点的横坐标间的距离是

T

2

=

π

2

知①错．
②f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos（

π

2

-2x-

π

3

）=4cos（2x+

π

3

-

π

2

）=4cos（2x-

π

6

）
③f（x）=4sin（2x+

π

3

）的对称点满足（x，0）
2x+

π

3

=kπ，x=（ k-

π

3

）

π

2

   k∈Z
（-

π

6

，0）满足条件
④f（x）=4sin（2x+

π

3

）的对称直线满足
2x+

π

3

=（k+

1

2

）π；x=（k+

1

6

）

π

2

x=-

π

6

不满足
故答案为：②③

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．