Question

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y），．
（1）求y；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）设（2）中直线AB恒过定点F，是否存在实数λ，使恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A，B的坐标，求得直线PA、PB的方程，利用，可得y；
（2）求出直线AB的方程，令x=0，结合（1）的结论，即可证得直线AB恒过定点；
（3）利用坐标表示向量，结合数量积公式，即可得到结论．
解答：（1）解：设，，（x₁≠x₂）．
由x²=4y，得：，∴，
∵，∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
直线PA的方程是：，即．①
同理，直线PB的方程是：．②
由①②得：，（x₁，x₂∈R）．…（4分）
（2）证明：由（1）可得直线AB的方程为
令x=0，可得，
∵，∴y=1
∴直线AB恒过点（0，1）…（8分）
（3）解：由（1）得：，，x₁x₂=-4，
∴
∵，∴，
∴，
∴．
故存在λ=1使得．…（12分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．