题目内容

(2010•永州一模)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD,|AB|=4,|BC|=2,E、F、G、H分别是矩形四条边的中点,O是矩形ABCD的中心,
OR
OF
CT
CF
(0<λ<1)
,直线ER与直线GT的交点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)求四边形OGPF面积的最大值.
分析:(1)依题意,E(0,-1),C(2,1),G(0,1),F(2,0),设P(x,y),得到R(2λ,0),T(2,1-λ),ER的方程是y=
1
x-1
,GT的方程是y=-
λ
2
x+1
,由此推导出W的方程.
(2):设直线l与曲线W相切且平行GF,l的方程为y=-
1
2
x+m
,联立
x2
4
+y2=1
得x2-2mx+2m2-2=0,然后结合题设条件利用根的判别式进行求解.
解答:解:(1)依题意,E(0,-1),C(2,1),G(0,1),F(2,0),设P(x,y),
OR
OF
,∴
CT
CF
,∴R(2λ,0),T(2,1-λ),
则ER的方程是y=
1
x-1
①GT的方程是y=-
λ
2
x+1

由①②得(y+1)(y-1)=-
x2
4
,注意到0<λ<1,化得W:
x2
4
+y2=1(x>0,y>0)
(6分)

(2):设直线l与曲线W相切且平行GF,l的方程为y=-
1
2
x+m

联立
x2
4
+y2=1
得x2-2mx+2m2-2=0,△=4m2-8(m2-1)=0,m=
2
(舍去负根),
l的方程为y=-
1
2
x+
2
,l与GF的距离d=
2
-1
1+
1
4
=
2
5
(
2
-1)

易得SOGPF=S△OGF+S△PGF=
2
(13分)
点评:本题考查轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系,解题时要结合题设条件,注意公式的灵活运用.
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