题目内容
如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆
C过F的切线交于点P和点Q,则P、Q必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点,
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问:此命题是否正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并
证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为评分依据)
(1)(2)该命题为真命题(3)见解析
解析:
(Ⅰ)过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1,并设|KF|=p,则可得该该抛物线的
方程为 .
(Ⅱ)该命题为真命题,证明如下:
如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线
准线l上的射影分别为A、B、D,
∵PQ是抛物线过焦点F的弦,
∴ |PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB
的中位线,
∴ .
∵M是以PQ为直径的圆的圆心,∴圆M与l相切.
(Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,
则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”.
此命题为真命题……10分
证明如下:
证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,
则0<e<1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,
∵,∴; 同理得 .
∵|MD|是梯形APQB的中位线,
∴.
∴圆M与准线l相离.
选择双曲线类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题,证明如下:……………………11分
证明:设PQ中点为M,双曲线的离心率为e,则e>1,P、Q、M在相应准线l上的 射影分别为A、B、D,
∵,∴; 同理得 .
∵|MD|是梯形APQB的中位线,
∴.
∴圆M与准线l相交.