题目内容

定义在（m，n）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），若当x∈[a，b]?（m，n）时，有|f'（x）|≤1，则称函数f（x）为[a，b]上的平缓函数．下面给出四个结论：
①y=cosx是任何闭区间上的平缓函数；
②y=x2+lnx是[
1
2
，1]上的平缓函数；
③若f（x）=
1
3
x3-mx2-3m2x+1是[0，
1
2
]上的平缓函数，则实数m的取值范围是[-
3
3
，
1
2
]；
④若y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，则有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
这些结论中正确的是
①③④
①③④
（多填、少填、错填均得零分）．
分析：根据平缓函数的定义逐个命题判断即可．
解答：解：①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何闭区间上的平缓函数，故①正确；
②中，y′=2x+
1
x
，当x=1时，|y′|=3＞1，不满足平缓函数的定义，故②错误；
③中，f′（x）=x2-2mx-3m2，
因为f（x）是[0，
1
2
]上的平缓函数，所以|x2-2mx-3m2|≤1恒成立，即-1≤x2-2mx-3m2≤1恒成立，
亦即
x2-2mx-3m2+1≥0①
x2-2mx-3m2-1≤0②
在[0，
1
2
]上恒成立，
对①式，
当m＜0时，x2-2mx-3m2+1在[0，
1
2
]上单调递增，最小值-3m2+1≥0，解得-
3
3
≤m≤
3
3
，
所以-
3
3
≤m＜0；
当0≤m≤
1
2
时，x2-2mx-3m2+1的最小值-4m2+1≥0，解得-
1
2
≤m≤
1
2
，
所以0≤m≤
1
2
；
当m＞
1
2
时，x2-2mx-3m2+1的最小值
1
4
-m-3m2+1≥0，解得-
5
6
≤m≤
1
2
，
所以此时m∈∅；
故对①式恒成立得，-
3
3
≤m≤
1
2
；
对②式，结合图象，
只需当x=0，
1
2
时，x2-2mx-3m2-1≤0，即
-3m2-1≤0
1
4
-m-3m2-1≤0
，解得m∈R，
综上，实数m的取值范围是[-
3
3
，
1
2
]，故③正确；
④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，所以|f′（x）|≤1恒成立，
则存在点c∈（a，b），使得f′(c)=
f(a)-f(b)
a-b
，则|
f(a)-f(b)
a-b
|≤1，
所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正确．
点评：本题考查导数的运算，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
已知函数f(x)=
mx+n
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5

（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
定义在（m，n）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），若当x∈[a，b]?（m，n）时，有|f'（x）|≤1，则称函数f（x）为[a，b]上的平缓函数．下面给出四个结论：
①y=cosx是任何闭区间上的平缓函数；
②y=x2+lnx是[
1
2
，1]上的平缓函数；
③若f（x）=
1
3
x3-mx2-3m2x+1是[0，
1
2
]上的平缓函数，则实数m的取值范围是[-
3
3
，
1
2
]；
④若y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，则有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
这些结论中正确的是______（多填、少填、错填均得零分）．
定义在（m，n）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），若当x∈[a，b]?（m，n）时，有|f'（x）|≤1，则称函数f（x）为[a，b]上的平缓函数．下面给出四个结论：
①y=cosx是任何闭区间上的平缓函数；
②y=x2+lnx是上的平缓函数；
③若f（x）=x3-mx2-3m2x+1是[0，]上的平缓函数，则实数m的取值范围是；
④若y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，则有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
这些结论中正确的是    （多填、少填、错填均得零分）．

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