题目内容
(本小题12分)在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,,.
(Ⅰ)若异面直线与所成的角为,求棱柱的高;
(Ⅱ)设是的中点,与平面所成的角为,当棱柱的高变化时,求的最大值.
【答案】
(1)1(2)
【解析】
试题分析:解:建立如图2所示的空间直角坐标系,设,则有
,,,,
,,. ……… 2分
(Ⅰ)因为异面直线与所成的角,所以,
即,得,解得. ………… 6分
(Ⅱ)由是的中点,得,于是.
设平面的法向量为,于是由,,可得
即 可取, ………… 8分
于是.而.
令,………………………………10分
因为,当且仅当,即时,等号成立.
所以,
故当时,的最大值. ………………1 2分
考点:本试题考查了棱柱中距离和角的求解。
点评:对于几何体中的高的求解,可以借助于勾股定理来得到,同时对于线面角的求解,一般分为三步骤:先作,二证,三解。这也是所有求角的一般步骤,属于中档题。
练习册系列答案
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(本小题12分)
正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B.
(Ⅰ)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;
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