题目内容
已知函数
.
(I)若f(x)为定义域上的单调函数,求实数m的取值范围;
(II)当m=1,且1≥a>b≥0时,证明:
.
解:(I)
,
∴
.
对
,
,故不存在实数m,
使
对
恒成立,
由
对
恒成立得,
m≥
对
恒成立
而
<0,故m≥0
经检验,当m≥0时,
对
恒成立
∴当m≥0时,f(x)为定义域上的单调递增函数.
(II)证明:当m=1时,令
,
在[0,1]上总有g′(x)≥0,
即g(x)在[0,1]上递增
∴当1≥a>b≥0时,g(a)>g(b),
即
.
令
,
由(2)知它在[0,1]上递减,
∴h(a)<h(b)
即
综上所述,当m=1,且1≥a>b≥0时,
<
.
分析:(I)整理函数求出函数的定义域,对函数求导,根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立,所以只能整理导函数大于0恒成立,分离参数得到结论.
(II)当m=1时,构造新函数g(x),对新函数求导,得到新函数在[0,1]上递增,利用递增函数的定义,写出递增所满足的条件,在构造新函数h(x),同理得到函数在[0,1]上递减,得到递减的条件,得到结论.
点评:本题考查函数的单调性与导数的关系,考查根据需要构造新函数,考查递增函数的定义,考查函数的恒成立问题,考查解决问题的能力和分析问题的能力,是一个中档题.

∴

对


使


由


m≥


而

经检验,当m≥0时,


∴当m≥0时,f(x)为定义域上的单调递增函数.
(II)证明:当m=1时,令


在[0,1]上总有g′(x)≥0,
即g(x)在[0,1]上递增
∴当1≥a>b≥0时,g(a)>g(b),
即

令

由(2)知它在[0,1]上递减,
∴h(a)<h(b)
即

综上所述,当m=1,且1≥a>b≥0时,


分析:(I)整理函数求出函数的定义域,对函数求导,根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立,所以只能整理导函数大于0恒成立,分离参数得到结论.
(II)当m=1时,构造新函数g(x),对新函数求导,得到新函数在[0,1]上递增,利用递增函数的定义,写出递增所满足的条件,在构造新函数h(x),同理得到函数在[0,1]上递减,得到递减的条件,得到结论.
点评:本题考查函数的单调性与导数的关系,考查根据需要构造新函数,考查递增函数的定义,考查函数的恒成立问题,考查解决问题的能力和分析问题的能力,是一个中档题.

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