Question

若矩阵M有特征向量

e1

=

1 0

，

e2

=

0 1

，且它们所对应的一个特征值分别为2，-1．
（1）求矩阵M及其逆矩阵N
（2）求N100

2 3

．

Answer 1

分析：（1）设矩阵M=

a b c d

，则

1 0

是矩阵A的属于λ₁=2的特征向量，则有

2-a-b -c2-d

1 0

=

0 0

①，

0 1

是矩阵A的属于λ₂=-1的特征向量，则有

-1 -a-b -c  -1-d

0 1

=

0 0

②，由此能够求出矩阵M及其逆矩阵N．
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的特征值，由于

2 3

=2

e1

+3

e2

，∴N100

2 3

=N¹⁰⁰（2

e1

+3

e2

）=2（N¹⁰⁰

e1

）+3N¹⁰⁰

e2

，求出值即可．

解答：解：设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1 0

是矩阵A的属于λ₁=2的特征向量，则有

2-a-b -c2-d

1 0

=

0 0

①，
又因为

0 1

是矩阵A的属于λ₂=-1的特征向量，则有

-1 -a-b -c -1-d

0 1

=

0 0

②，
根据①②，则有

2-a=0 -c=0 -b=0 -1-d=0

从而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=

2 0 0 -1

，（6分）
设A-1=

ef gh

，则有

e f g h

2 0 0 -1

=

2e -f 2g -h

=

1 0 0 1

，
则得

2e=1 -f=0 2g=0 -h=1

从而 e=

1

2

，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=

1 2 0 0 -1

．（10分）
（2）根据题意

e1

=

1 0

，

e2

=

0 1

分别是矩阵A^-1属于特征值

1

2

，-1的特征向量，
由于

2 3

=2

e1

+3

e2

∴N100

2 3

=N¹⁰⁰（2

e1

+3

e2

）=2（N¹⁰⁰

e1

）+3N¹⁰⁰

e2

=2(

λ

100 1

e1)+

3λ

100 2

e2=2×(

1

2

)100

1 0

+3×(-1)100

0 1

=

2-99 3

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用，考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．