Question

已知a，x∈R，函数．
（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；
（2）对任意，函数f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和的正弦公式可得，把t=sinx+cosx两边平方化为．代入即可得到g（t）及其定义域；
（2））由，可得，通过换元，由函数f（x）＞-3-2a恒成立，分离参数即可得到，
利用导数或单调性的定义即可得到p（t）的单调性和值域．
解答：解：（1）∵，
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴．
∵．
∴，定义域：．
（2）∵，∴，
∵函数f（x）＞-3-2a恒成立，∴恒成立，
得：，
∵t-2＜0，∴，
设，∵，
∴函数p（t）在上是递减函数，
∴a＞p_max（x）=p（1）=3．
点评：熟练掌握两角和的正弦公式、sinx+cosx与sinxcosx的关系、倍角公式、三角函数的单调性、单调性的定义、分离参数法是解题的关键．