Question

己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x-2，那么不等式f(x)＜

1

2

的解集是（　　）

• A、{x|0＜x＜

  5

  2

  }
• B、{x|-

  3

  2

  ＜x＜0}
• C、{x|-

  3

  2

  ＜x＜0或0＜x＜

  5

  2

  }
• D、{x|x＜-

  3

  2

  或0≤x＜

  5

  2

  }

Answer 1

分析：由函数是奇函数和当x＞0时，f（x）=x-2，求出函数的解析式并用分段函数表示，在分三种情况求不等式f(x)＜

1

2

的解集，最后要把三种结果并在一起．

解答：解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x-2，∴f（-x）=-x-2，
∵f（x）=-f（-x），∴f（x）=x+2，
∴f（x）=

x-2   x＞0 0       x=0 x+2   x＜0

，
①当x＞0时，由x-2＜

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2

，解得0＜x＜

5

2

，
②当x=0时，0＜

1

2

，符合条件，
③当x＜0时，x+2＜

1

2

，解得x＜-

3

2

，
综上，f(x)＜

1

2

的解集是{x|x＜-

3

2

或0≤x＜

5

2

}．
故选D．

点评：本题的考点是奇函数性质的应用，考查了由奇函数求出解析式，再根据解析式对x分类求解不等式的解集，注意f（0）=0这是易忽视的地方．