题目内容
（2009•红桥区一模）已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足
•
=6|
|
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若5•
•
=12，求直线l的方程．
| MN |
| MP |
| PN |
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若5•
| NA |
| BN |
分析：（I）设P（x，y），可得向量
、
的坐标，根据
•
=6|
|利用数量积公式和两点的距离公式建立关于x、y的方程，化简得
+
=1，即为动点P的轨迹C的方程；
（II）当直线l斜率不存在时，算出A（1，
）、B（1，-
），从而得到
•
=
，不符合题意；当l斜率存在时，设交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），将l方程y=k（x-1）与曲线C消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和直线l方程化简得
•
=
=
，解出k=±
，从而可得直线l的方程为y=±
（x-1）．最后综合即可得到满足条件的直线l的方程．
| MN |
| MP |
| MN |
| MP |
| PN |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）当直线l斜率不存在时，算出A（1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| NA |
| BN |
| 9 |
| 4 |
| NA |
| BN |
| 9(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
解答：解（I）设P（x，y），得
=(-3，0)，
=(x-4，y)
∵
=
=
∴由
•
=6|
|得3（4-x）=6
两边平方，化简得
+
=1，
因此，动点P的轨迹C的方程为椭圆
+
=1；
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，方程为x=1
由
，解得A（1，
），B（1，-
）
∴
=(0，
)，
=(0，
)，可得
•
=
，不符合题意
（2）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
消去y，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
∴x1+x2=
，x1•x2=
∵
=(x1-1，y1)，
=(1-x2，-y2)
∴
•
=(x1-1)(1-x2)-y1y2
=-[(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)]=-（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]
=-（1+k2）（
-
+1）=
∵5
•
=12，得
•
=
∴
=
，解之得k=±
，可得直线l的方程为y=±
（x-1），
化简得
x-y-
=0或
x+y-
=0
综上所述，满足条件的直线l方程为
x-y-
=0或
x+y-
=0．
| MN |
| MP |
∵
| |PN| |
| (x-1)2+(y-0)2 |
| (x-1)2+y2 |
∴由
| MN |
| MP |
| PN |
| (x-1)2+y2 |
两边平方，化简得
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
因此，动点P的轨迹C的方程为椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，方程为x=1
由
|
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| NA |
| 3 |
| 2 |
| BN |
| 3 |
| 2 |
| NA |
| BN |
| 9 |
| 4 |
（2）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
∴x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
∵
| NA |
| BN |
∴
| NA |
| BN |
=-[(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)]=-（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]
=-（1+k2）（
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 9(1+k2) |
| 3+4k2 |
∵5
| NA |
| BN |
| NA |
| BN |
| 12 |
| 5 |
∴
| 9(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
化简得
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
综上所述，满足条件的直线l方程为
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题给出动点P的轨迹，求轨迹方程并求满足条件的直线l方程．着重考查了圆锥曲线的方程、向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系和动点轨迹的研究等知识，属于中档题．
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