Question

已知p：方程

x2

k+1

+

y2

2-2k

=1表示焦点在y轴上的椭圆； q：直线y-1=k（x+2）与抛物线y²=4x有两个公共点．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求k的取值范围．

Answer 1

分析：根据方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x²、y²的分母均为正数，且y²的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．再把直线方程代入抛物线方程消去x，求得方程得判别式，分别根据判别式大于0，求得k的范围．由复合命题的真值表，结合p∨q为真，p∧q为假，可得p和q一真一假，分类讨论后可得k的取值范围．

解答：解：∵方程

x2

k+1

+

y2

2-2k

=1，表示焦点在y轴的椭圆，
∴2-2k＞1+k＞0，解不等式得-1＜k＜

1

3

，
故若p为真命题，则：-1＜k＜

1

3

，

y-1=k(x+2) y2=4x

消去x得

k

4

y²-y+2k+1=0
△=4-k（2k+1）＞0，即-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

，
即-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

时，直线与抛物线有二个公共点；
若q为真命题，则：-1＜k＜0或0＜k＜

1

2

，
又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．
即p为真，q为假；或p为假，q为真．
∴得k=0或-

1

3

＜k＜

1

2

．
∴k的取值范围是k=0或-

1

3

＜k＜

1

2

．

点评：本题考查含有字母参数的方程表示椭圆，直线与圆锥曲线的关系问题，复合命题的真假判断．属于基础题．