题目内容
已知函数
上的最小值是an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明
;
(3)在点列An(2n,an)中,是否存在两点Ai,Aj(i,j∈N*)使直线AiAj的斜率为1?若存在,求出所有数对(i,j),若不存在,说明理由.
解:(1)∵
…(2分)
当且仅当
即
时,
f(x)取得最小值
,
∴
.…(4分)
(2)证明∵
,…(6分)
∴
=
.…(9分)
(3)不存在.
设Ai(2i,ai),A(2j,aj),(其中i,j∈N*),
则
…(10分)
=
…(12分)
=
.
故不存在存在两点Ai,Aj(i,j∈N*)使直线AiAj的斜率为1.…(14分)
分析:(1)由
,知当且仅当
时,f(x)取得最小值,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)由
,能够证明
.
(3)设Ai(2i,ai),A(2j,aj),则
=
=
.故不存在存在两点Ai,Aj(i,j∈N*)使直线AiAj的斜率为1.
点评:本题考查数列与不等式的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

当且仅当

即

f(x)取得最小值

∴

(2)证明∵

∴

=

(3)不存在.
设Ai(2i,ai),A(2j,aj),(其中i,j∈N*),
则

=

=

故不存在存在两点Ai,Aj(i,j∈N*)使直线AiAj的斜率为1.…(14分)
分析:(1)由


(2)由


(3)设Ai(2i,ai),A(2j,aj),则



点评:本题考查数列与不等式的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

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