题目内容

高考数学考试中共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定:“在每小题给出的上个选项中,只有一项是符合题目要求的,答对得5分,不答或答错得0分”.某考生每道选择都选出一个答案,能确定其中有8道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项错误的,有一道题可能判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.试求出该考生的选择题:
(1)得40分的概率;
(2)得多少分的概率最大?
(3)所得分数ξ的数学期望.
分析:(1)由题意知要得40分,就是除能确定做对的8道题之外,其余4题全部做错.在其余的四道题中,有两道题答对的概率为
1
2
,有一道题答对的概率为
2
3
,还有一道题答对的概率为
3
4
,根据相互独立事件同时发生的概率,得到结果.
(2)该考生选择题得分的可能取值有:40,45,50,55,60共五种,得分为40,表示只做对有把握的那8道题,其余各题都做错,
得分为45时,有三种可能,这三种情况是互斥的,以此类推,做出概率.
(3)由题意知变量的可能取值分别是40,45,50,55,60,根据第二问做出的结果,写出离散型随机变量的分布列,做出期望.
解答:解:(1)要得40分,就是除能确定做对的8道题之外,其余4题全部做错.
在其余的四道题中,有两道题答对的概率为
1
2

有一道题答对的概率为
2
3
,还有一道题答对的概率为
3
4

∴他做选择题得40分的概率为:P=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8

(2)依题意,该考生选择题得分的可能取值有:40,45,50,55,60共五种
得分为40,表示只做对有把握的那8道题,其余各题都做错,
于是其概率为:P1=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
6
48

类似的,可知得分为45分的概率:P2=
C
1
2
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48

得分为50的概率:P3=
17
48

得分为55的概率:P4=
7
48

得分为60的概率:P5=
1
48

∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大.
(3)由(2)可知ξ的分布列为:精英家教网
Eξ=40×
6
48
+45×
7
48
+50×
17
48
+55×
7
48
+60×
1
48
=
575
12
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查相互独立事件同时发生的概率,考查互斥事件的概率,考查学生利用所学的知识解决实际问题的能力,是一个综合题目.
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