Question

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

 

Answer 1

【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，

S_△RST=．　　　　　　　　 ……………………2分

由题意，△RST在月牙形公园里，

RT与圆Q只能相切或相离；　　　　　　　　　　　 ……………………4分

RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

则有RT≤4，SH≤2，

当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为S_△RST==4（km²）．　　 ……………………6分

（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有

．

　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

令，则

．　　 ………………… 11分

若，，

又时，，时，，　　　　　　 …………………14分

函数在处取到极大值也是最大值，

故时，场地面积取得最大值为（km²）．　　　　　 …………………16分