Question

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且⊥．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，再由点O到直线AB的距离=b=，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入+=1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，则y₁+y₂=，y₁y₂=．由•=0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．
解答：解：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b （2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离=b=，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为：+=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入+=1化简整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
则y₁+y₂=，y₁y₂=．（8分）
而•=0⇒（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0即（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0
又x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn
∴（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
整理得（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0 （10分）
即（m²+1）×+m（n-3）×+（n-3）²=0
易知n≠3，∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0
展开得25n+21=0⇒n=-
∴直线l的横截距n为定值 （12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线l的横截距n为定值的证明，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和合理地进行等价转化．