题目内容

某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为 $数学公式$ ，参加第五项不合格的概率为 $数学公式$ ，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．
所以该生被录取的概率为P= $\text{[math]}$ [（ $\text{[math]}$ ）⁴+C $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）³• $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ ，
（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．
P（X=2）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（X=3）=C $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（X=4）=C $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）²• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（X=5）=1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
该生参加考试的项数ξ的分布列为：

X	2	3	4	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

EX=2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．
（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．
点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．