Question

已知圆C圆心在直线y=x-1上，且过点A（1，3），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设出圆的一般方程，根据圆的方程求出圆心坐标，将圆心代入直线y=x-1，将A，B代入圆的方程，列出关于待定系数的方程，求出各个系数，即得到圆的方程．
（2）根据圆心角等于圆周角的2倍，通过解半径、圆心距、及弦长的一半构成的直角三角形得到圆心距，根据点到直线的距离公式，列出参数m的方程，求出m的值．

解答：解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

- E 2 =- D 2 -1 1+9+D+3E+F=0 16+4+4D+2E+F=0

解得D=-4，E=-2，F=0．
∴圆C的方程为x²+y²-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，点O在圆C上，
∴∠MCN=120°，且点C在直线MN下方，
在等腰△MCN中，得点C到直线MN的距离为

5

2

∴d=

|2+2+m|

5

=

5

2

，解得m=-

3

2

或m=-

13

2

．
经检验，m=-

3

2

不合题意，舍去．
∴m=-

13

2

．

点评：求圆的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆相交问题，常通过解半径、圆心距、及弦长的一半构成的直角三角形．