题目内容
19、数列{an}是等差数列，a1=f（a+1），a2=0，a3=f（a-1），f（x）=x2-3x+1求通项公式an．
分析：利用等差数列中，a2是a1与a3的等差中项则有2a2=a1+a3，列出关于a的方程，并求出a，再代入等差数列通项公式中求出通项公式an
解答：解：∵数列{an}是等差数列，∴2a2=a1+a3
又∵a1=f（a+1）=（a+1）2-3（a+1）+1，a3=f（a-1）=（a-1）2-3（a-1）+1，a2=0
∴（a+1）2-3（a+1）+1+（a-1）2-3（a-1）+1=0，解得a=1或a=2
当a=1时，a1=f（2）=-1，公差d=1，∴通项公式an=a1+（n-1）d=n-2，
当a=2时，a1=f（3）=1，公差d=-1，∴通项公式an=a1+（n-1）d=2-n，
故当a=1时，通项公式an=n-2，
当a=2时通项公式an=2-n，
又∵a1=f（a+1）=（a+1）2-3（a+1）+1，a3=f（a-1）=（a-1）2-3（a-1）+1，a2=0
∴（a+1）2-3（a+1）+1+（a-1）2-3（a-1）+1=0，解得a=1或a=2
当a=1时，a1=f（2）=-1，公差d=1，∴通项公式an=a1+（n-1）d=n-2，
当a=2时，a1=f（3）=1，公差d=-1，∴通项公式an=a1+（n-1）d=2-n，
故当a=1时，通项公式an=n-2，
当a=2时通项公式an=2-n，
点评：此题主要考查等差数列的等差中项这个性质，以及函数的分类讨论思想．
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