Question

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的内接长方体的最大体积为

4

．

Answer 1

分析：根据题意，该几何体是底面直径与高都等于2的圆柱，内接长方体的高等于2，底面是圆柱底面圆的内接矩形．利用圆内接矩形的性质与基本不等式，算出当矩形的两边长都为

2

时，底面矩形有最大面积2，由此可得该几何体的内接长方体的最大体积．

解答：解：根据题中的三视图，可得该几何体是底面直径与高都等于2的圆柱，
几何体的内接长方体的高等于圆柱的高，底面矩形是圆柱底面圆的内接矩形，
由于圆柱的高为定值2，可得当底面矩形面积最大时，内接长方体的体积有最大值．
设长方体的底面矩形的一边长为x，则另一边长为

22-x2

=

4-x2

，
∴矩形的面积S=x

4-x2

=

x2•(4-x2)

≤

1

2

[x²+（4-x²）]=2，
当且仅当x²=4-x²即x=

2

时，等号成立．因此矩形的两边长都为

2

时，矩形有最大面积2，
可得内接长方体的最大体积为V_max=s_max×h=2×2=4
故答案为：4

点评：本题给出圆柱的三视图的形状，求圆柱内接长方体的最大体积．着重考查了柱体的体积公式、三视图的认识、圆内接矩形的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．