Question

在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l₁，l₂在α上的射影是直线S₁，S₂，l₁，l₂在β上的射影是直线t₁，t₂．用S₁与S₂，t₁与t₂的位置关系，写出一个总能确定l₁与l₂是异面直线的充分条件：    ．

Answer 1

【答案】分析：由空间两条直线l₁，l₂在α上的射影是直线S₁，S₂，则当S₁∥S₂时，表示l₁，l₂平行或异面，而当S₁与S₂相交时，表示l₁，l₂相交或异面，故能确定l₁与l₂是异面直线的充分条件必然是l₁，l₂在α上的射影S₁，S₂，在β上的射影t₁，t₂．一组平行一组相交．
解答：解：∵当l₁，l₂异面时，l₁，l₂在α上的射影是直线S₁，S₂，可能平行或相交；
l₁，l₂在β上的射影是直线t₁，t₂，可能平行或相交；
但当直线S₁∥S₂与直线t₁∥t₂，同时成立时，则l₁∥l₂；
而当直线S₁与S₂、直线t₁与t₂，均相交时，则l₁与l₂与可能相交；
故能确定l₁与l₂是异面直线的充分条件是：S₁∥S₂，并且t₁与t₂相交（或：t₁∥t₂，并且S₁与S₂相交）
故答案：S₁∥S₂，并且t₁与t₂相交（或：t₁∥t₂，并且S₁与S₂相交）
点评：本题考查的知识点是异面直线的判断，及充要条件的判断，根据空间中线与面之间的关系，根据平行投影，我们对线面关系进行分类讨论，即可得到结论．