Question

【题目】已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．
（1）设c=0． ①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x1 ， x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1 ， f（x2）=x2不同时成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：当c=0时，f（x）=ax3﹣bx2+b﹣a．

①若a=b，则f（x）=ax3﹣ax2，

从而f'（x）=3ax2﹣2ax，

故曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为 = ．

将点（1，0）代入上式并整理得 =x0（1﹣x0）（3x0﹣2），

解得x0=0或x0=1．

②若a＞b，则令f'（x）=3ax2﹣2bx=0，解得x=0或 ．

（ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，

∴f（x）为区间[0，1]上的增函数，

∴f（x）的最大值为f（1）=0．

（ ii）若b＞0，列表：

x	0	（0， ）		（ ，1）	1
f′（x）	0	﹣	0	+
f（x）	b﹣a＜0	减函数	极小值	增函数	0

所以f（x）的最大值为f（1）=0．

综上，f（x）的最大值为0

（2）解：假设存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1与f（x2）=x2同时成立．

不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）．

因为x=x1，x=x2为f（x）的两个极值点，

所以f'（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）．

因为a＞0，所以当x∈[x1，x2]时，f'（x）≤0，

故f（x）为区间[x1，x2]上的减函数，

从而f（x1）＞f（x2），这与f（x1）＜f（x2）矛盾，

故假设不成立．

既不存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立

【解析】（1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x0；②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值；（2）使用反证法证明．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．