Question

如图是A-B-C-D-E-F是一个滑滑板的轨道截面图，其中AB，DE，EF是线段，B-C-D是一抛物线弧；点C是抛物线的顶点，直线DE与抛物线在D处相切，直线L是地平线．已知点B离地面L的高度是9米，离抛物线的对称轴距离是6米，直线DE与L的夹角是45．试建立直角坐标系：
（Ⅰ）求抛物线方程，并确定D点的位置；
（Ⅱ）现将抛物线弧B-C-D改造成圆弧，要求圆弧经过点B，D，且与直线DE在D处相切．试判断圆弧与地平线L的位置关系，并求该圆弧长．（可参考数据

3

=1.73，

2

=1.41，π=3.14，精确到0.1米）

Answer 1

分析：（Ⅰ） 以C为原点，L所在的直线为X轴，如图所示建立直角坐标系，则B（-6，9）．   设抛物线的方程为y=ax²，把点B（-6，9）代入y=ax²，求出a即可
（Ⅱ）由圆的切线性质及垂径定理，设所求圆的圆心为H．则H在过D与DE垂直的直线l₁ 上，又在BD的中垂线上，解出圆心，半径，再利用直线与圆的位置关系去解．

解答：解：（Ⅰ）以C为原点，L所在的直线为X轴，如图所示建立直角坐标系，则B（-6，9）．    
设抛物线的方程为y=ax²，把点B（-6，9）代入y=ax²得a=

1

4

，
故抛物线方程为y=

1

4

x2．
设D(x0，

1

4

x02)，根据直线DE与L的夹角是45．得直线L的斜率为1，由y′=

1

2

x，
∴

1

2

x0=1，∴x₀=2，
故D点的坐标是（2，1）．
（Ⅱ）设所求圆的圆心为H．过D与L垂直的直线方程是l₁：y=-x+3，BD的中点坐标是（-2，5），k_BD=-1，故BD中垂线方程是y=x+7，
由  

y=x+7 y=-x+3

得x=-2，y=5．∴H（-2，5）．∵B（-6，9）∈l₁，∴BD是直径．
∵BD=8

2

，半径r=4

2

．∴

BD

=4

2

π≈17.7(m)．
∵圆心H到L的距离为d=5，d=5＜4

2

=r，故圆弧与地平线L相交．

点评：本题考查圆锥曲线方程求解，直线与圆的位置关系、函数与导数知识，考查建模能力、分析解决问题、计算能力．是好题．